Задача 87128

Темы:    [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания ABCD правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2a , боковое ребро – a . Рассматриваются отрезки с концами на диагонали AD1 грани AA1D1D и диагонали DB1 призмы, параллельные плоскости AA1B1B . а) Один из таких отрезков проведён через точку M диагонали AD1 , для которой AM:AD1 = 2:3 . Найдите его длину. б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

Решение

Через точку M проведём плоскость, параллельную плоскости AA1B1B . Пусть секущая плоскость пересекает рёбра AD , BC , B1C1 , A1D1 данного параллелепипеда соответственно в точках P , Q , R , S , а диагонали BD и B1D1 граней ABCD и A1B1C1D1 – соответственно в точках E и F . Тогда плоскости PQRS и BDD1B1 пересекаются по прямой EF . Если N – точка пересечения прямых EF и DB1 , то отрезок MN параллелен плоскости AA1B1B , а его концы лежат на прямых AD1 и DB1 . Пусть = . Тогда

= = = ,
поэтому
= = = = = ,
значит,
PM = PS = AA1 = a,

PN = PR = AB1 = = = a.
Обозначим SPR = A1AB1 = α . Тогда tg α = = 2 . Поэтому
cos α = = .
По теореме косинусов из треугольника MPN находим, что
MN = =

= = a.
Пусть теперь точка M перемещается по отрезку AD1 . Для каждого её положения строим плоскость PQRS , параллельную плоскости AA1B1B , и точку N на DB1 . Обозначим = x (0 x 1) . Указанным выше способом находим, что
PM = xa, PN = (1 - x)a.
Тогда
MN2 = PM2 + PN2 - 2PM· PN cos α =

= x2a2 + 5(1 - x)2a2 - 2· xa· (1 - x)a· =

= a2(x2 + 5 - 10x + 5x2 - 2x + 2x2) =

= a2(8x2 - 12x + 5) = a2(2(4x2 - 2· 2x + ) - + 5) =

= a2(2(2x - )2 + ) a2,
причём равенство достигается при x = . Следовательно, наименьшее значение длины отрезка MN равно .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7451