Задача 87186

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Уравнение плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите угол между прямой AB и плоскостью BCD .

Решение

Пусть = (a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости BCD . Найдём координаты векторов , и :

= (2-(-2); 0-2; 3-1) = (4; -2; 2),

= (0-(-2); 4-2; -2-1) = (2; 2; -3),

=(-2-1; 2-0; 1-1) = (-3; 2; 0).
Поскольку · = 0 и · = 0 , имеем систему

Сложив почленно эти уравнения, получим, что 6a - c = 0 . Положим c = 6 . Тогда a = 1 , b = (4a + 2c) = 2a + c = 8 . Таким образом, вектор =(1; 8; 6) перпендикулярен плоскости BCD . Пусть α – угол между прямой AB и плоскостью BCD , ϕ – угол между векторами = (1; 8; 6) и = (-3; 2; 0) . Тогда
sin α = | cos ϕ| = || = = = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7575