Задача 87386

Темы:    [ Окружности на сфере ] [ Касательные к сферам ] [ Конус ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

На плоскости α , проходящей через центр шара радиуса R , задана окружность с центром O1 и радиусом r1 , расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой A , принадлежащей шару и удалённой от плоскости α на расстояние R . Множество отличных от A точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром O2 и радиусом r2 . Найдите расстояние от точки O2 до плоскости α , если расстояние между точками A и O1 равно a .

Решение

Пусть O – центр сферы. Выберем точку B на прямой OO2 (перпендикулярной плоскости β ) так, чтобы для некоторой (а значит, для любой) точки K второй окружности прямая BK касалась сферы в точке K (рис.1). Тогда из прямоугольного треугольника BKO с высотой KO2 , опущенной на гипотенузу, находим, что

OO2 = = , BO = = ,

BK = = = .
Докажем, что точка C пересечения прямой AB с плоскостью α совпадает с центром O1 первой окружности. Через точку B параллельно поскости α проведём плоскость γ . Пусть прямая AK пересекает плоскости α и γ в точках L и M соответственно. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A , B и K (рис.2). Получим окружность с центром в некоторой точке N , причём AN LC , т.к. плоскость AON содержит прямые OA и ON , перпендикулярные LC ( ON LC , т.к. прямая ON перпендикулярна плоскости ABK ). Значит, AN MB . Так как BK – касательная к сфере, то BK NK . Треугольник ANK – равнобедренный, поэтому
KMB = 90^o - KAN = 90^o - AKN = BKM, BM = BK.
Кроме того, треугольники ALC и AMB подобны, поэтому
LC = BM· = BK· = · = ,
где коэффициент подобия k = не зависит от выбора точки K на второй окружности. Таким образом, точка C равноудалена от всех точек первой окружности, а значит, является её центром, т.е. совпадает с точкой O1 . Рассмотрим сечение сферы плоскостью AOO2 , содержащей перпендикуляр AO , а значит, и перпендикуляр O2D к плоскости α . Треугольники ALO1 и AMB подобны с коэффициентом
k = = = = .
Поэтому
AB = = .
По теореме косинусов из треугольника AOB находим, что
cos AOB = = =

= .
Наконец, из прямоугольного треугольника OO2D получаем, что
O2D = OO2 sin O2O1D = - cos AOB = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7881