ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87490
Темы:    [ Отношение объемов ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки K , M и N расположены соответственно на ребрах BC , AD и CD тетраэдра ABCD , причём BK:KC = 1:3 , AM:MD = 3:1 и CN:ND = 1:2 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , M , N . В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

Решение

Обозначим BD = a . Рассмотрим плоскость грани BCD . Через точку C проведём прямую l , параллельную BD . Пусть продолжение отрезка KN пересекает прямую l в точке T , а прямую BD – в точке E . Обозначим BE = x . Из подобия треугольников TNC и END находим, что

CT = DE· = (a + x).

Из подобия треугольников TKC и EKB следует, что
CT = BE· = 3x.

Из уравнения (a + x) = 3x находим, что
BE = x = a, DE = DB + BE = a + a = a.

Рассмотрим плоскость грани ABD . Через точку A проведём прямую m , параллельную BD . Пусть прямая EM пересекает прямую m в точке G , а ребро AB – в точке Q . Из подобия треугольников AMG и DME находим, что
AG = DE· = 3 = a,

а из подобия треугольников AQG и BQE следует, что
= = = 18.

Плоскость ADK делит объем V данной пирамиды в отношении 1:3 , поэтому VDABK = V и VDACK = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра AD , AB и AK треугольной пирамиды DABK в точках M , Q и K , поэтому
VAMQK = · · · VDABN= · · · V = V.

Тогда объём многогранника DMQBK равен V - V = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра DA , DC и DK треугольной пирамиды DACK в точках M , N и K , поэтому
VDMKN = · · · VDACK = · · · V = V.

Значит, объём многогранника DMQKN равен
V + V = V.

Тогда объём остальной части пирамиды ABCD равен
V - V = V.

Следовательно, искомое отношение равно .

Ответ

15:61 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8083

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .