ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 87490
УсловиеТочки K , M и N расположены соответственно на ребрах BC , AD и CD тетраэдра ABCD , причём BK:KC = 1:3 , AM:MD = 3:1 и CN:ND = 1:2 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , M , N . В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?РешениеОбозначим BD = a . Рассмотрим плоскость грани BCD . Через точку C проведём прямую l , параллельную BD . Пусть продолжение отрезка KN пересекает прямую l в точке T , а прямую BD – в точке E . Обозначим BE = x . Из подобия треугольников TNC и END находим, чтоИз подобия треугольников TKC и EKB следует, что Из уравнения (a + x) = 3x находим, что Рассмотрим плоскость грани ABD . Через точку A проведём прямую m , параллельную BD . Пусть прямая EM пересекает прямую m в точке G , а ребро AB – в точке Q . Из подобия треугольников AMG и DME находим, что а из подобия треугольников AQG и BQE следует, что Плоскость ADK делит объем V данной пирамиды в отношении 1:3 , поэтому VDABK = V и VDACK = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра AD , AB и AK треугольной пирамиды DABK в точках M , Q и K , поэтому Тогда объём многогранника DMQBK равен V - V = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра DA , DC и DK треугольной пирамиды DACK в точках M , N и K , поэтому Значит, объём многогранника DMQKN равен Тогда объём остальной части пирамиды ABCD равен Следовательно, искомое отношение равно . Ответ15:61 .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|