Докажите, что  ABC > 90^o тогда и только тогда, когда точка B лежит внутри окружности с диаметром AC.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.

   Решение

Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120.
Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.

   Решение

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

   Решение

C — точка на продолжении диаметра AB, CD — касательная, угол ADC равен 110^o. Найдите угловую величину дуги BD.

   Решение

Какие остатки могут получиться при делении  n³ + 3  на  n + 1  при натуральном  n > 2?

   Решение

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

   Решение

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно  а) 1980?  б) 1990?  в) 2000?

   Решение

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 5,6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно  а) 1980?  б) 1990?  в) 2000?

Подсказка

Эту задачу можно сформулировать иначе: "Можно ли разложить числа 1980, 1990, 2000 на однозначные сомножители?"

Решение

Среди делителей числа 1980 – двузначное простое число 11, а среди делителей числа 1990 – трёхзначное простое число 199, поэтому ни 1980, ни 1990 в такие произведения разложить нельзя. Число 2000 можно разными способами разложить на однозначные множители, например так:  2000 = 2⁴5³.  Следовательно, таких чисел, как требуется в условии, достаточно много. Вот, например, два из них – 555422 и 25855.

Ответ

а-б) Не существует;  в) существует.

Источники и прецеденты использования