M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

Решение

  Докажем, что более трёх почти центров симметрии быть не может. Пусть M состоит из  n > 2  точек. Занумеруем их в порядке возрастания абсцисс:  A_i(x_i, y_i)  (можно считать, что все абсциссы различны). При выбрасывании A₁ точка A₂ (с наименьшей абсциссой) может быть симметрична только точке A_n (с наибольшей абсциссой), то есть почти центр (если он есть) имеет координаты  .  По той же причине при выбрасывании A_n почти центр может быть только в точке  ,  а при выбрасывании любой другой точки – только в точке  .  Других почти центров быть не может.

  Примеры.

    Множество, состоящее из четырёх вершин квадрата, не имеет почти центров симметрии.
    Множество, состоящее из вершин квадрата и его центра, имеет один почти центр.
    Множество, состоящее из двух различных точек, имеет два почти центра симметрии.
    Множество, состоящее из трёх вершин произвольного треугольника, имеет три почти центра – середины сторон треугольника.

Ответ

0, 1, 2 или 3.

Замечания

Источники и прецеденты использования