|
|
 |
Условие
Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел: (8, 9), (288, 289).
Решение
Назовём число хорошим, если его разложение содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Ясно, что произведение хороших чисел – хорошее число. Построим бесконечную последовательность {an}, положив a1 = 8, an+1 = 4an(an + 1). Докажем по индукции, что an и an + 1 – хорошие числа при любом n.
База (n = 1) очевидна: a1 = 8, a1 + 1 = 9.
Шаг индукции. Пусть известно, что числа an и an + 1 – хорошие. Тогда числа an+1 = 4an(an + 1) и an+1 + 1 = (2an + 1)² – тоже хорошие.
Замечания
1 (для знатоков). Любое решение уравнения Пелля x² – 2y² = 1 даёт пару последовательных хороших чисел (2y², x²) (нетрудно понять, что y обязано быть чётным). Теория этого уравнения хорошо известна (см., например, В. Бугаенко. "Уравнение Пелля"), в частности, известно, как получить все его решения. Мы лишь показали, как получить бесконечную серию этих решений.
2. 12 баллов.
