Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?
Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно [α/d].
Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?
Врун всегда лжёт, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил Вруна, Хитреца и Переменчика, которые знают друг друга. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить, кто есть кто?
Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.
|
|
 |
Условие
Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.
Решение
Среди последовательных 18 чисел есть число, кратное 18. Его сумма цифр равна либо 9, либо 18 (999 – единственное трёхзначное число с суммой цифр 27, но оно не кратно 18).
Замечания
7-8 кл. – 6 баллов, 9-10 кл. – 5 баллов
