Задача 97893

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Гальперин Г.А., Савин А.П.

Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.

Решение

Если все треугольники равновелики, то чевианы AK и BL делят друг друга пополам. Следовательно, ABKL – параллелограмм. Противоречие.

Замечания

1. 3 балла.

2. Ср. с задачей М1006 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	весенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер	1