|
|
 |
Условие
Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что
a4 + b4 + c4 ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
б) Докажите, что a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?
Решение
а) 0 ≥ a4 + b4 + c4 – 2(a²b² + b²c² + c²a²) = (a² – b² – c²)² – 4b²c² = (a² – b² – c² – 2bc)(a² – b² – c² + 2bc) =
= (a² – (b + c)²)(a² – (b – c)²) = (a – b – c)(a + b + c)(a – b + c)(a + b – c).
Пусть a – наибольшее из чисел. Тогда последние три множителя неотрицательны, значит, a – b – c ≤ 0.
б) (a² + b² + c²)² = a4 + b4 + c4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²) ≤ 4(a²b² + b²c² + c²a²) ≤ 4(ab + bc + ca)². Отсюда (a² + b² + c²) ≤ 2(ab + bc + ca).
в) Контрпример: a = 3, b = c = 1.
Ответ
в) Не следует.
Замечания
1. Баллы: 3 + 2 + 2.
2. Ср. с задачей М1094 из Задачника "Кванта".
