|
|
 |
Условие
2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и
вынимать яблоки из корзин.
Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.
Решение 1
Предположим, что утверждение неверно. Тогда в каждой корзине меньше 100 яблок (иначе можно оставить одну корзину со 100 яблоками) и непустых корзин меньше 100 (иначе можно оставить 100 корзин по 1 яблоку в каждой). Кроме того, корзин, где не менее 10 яблок меньше 10 (иначе можно оставить 10 корзин по 10 яблок). Значит, яблок не больше 91·9 + 9·99 < 2000.· Противоречие.
Решение 2
Упорядочим корзины по убыванию числа яблок. Утверждение неверно тогда и только тогда, когда в n-й корзине не больше [99/n] яблок. Поэтому наибольшее число яблок, при котором утверждение неверно, равно [99/1] + [99/2] + ... + [99/99] = 473.
Замечания
8 баллов
