|
|
 |
Условие
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба
поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Решение 1
Произведение всех 14 чисел равно четвёртой степени произведения чисел в вершинах и потому положительно. Следовательно, среди 14 чисел чётное количество минус единиц, а их сумма равна 0, только когда минус единиц ровно 7.
Решение 2
Заметим, что изменив знак одного числа в вершине мы, изменяем знак чисел, стоящих в центрах трёх граней. Так как старая сумма четырёх изменившихся чисел чётна, то сумма всех чисел изменится на число, кратное 4 (на 0, 4 или 8).
Если в каждой вершине куба стоит единица, то и в центре каждой грани стоит 1, и сумма всех чисел равна 14. Таким образом, при любых изменениях знаков чисел в вершинах сумма всех чисел не будет делиться на 4, в частности, не может быть равна нулю.
Ответ
Не может.
Замечания
3 балла
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 1988/1989 |
| Номер | 10 |
| вариант | |
| Вариант | осенний тур, основной вариант, 7-8 класс |
| Задача | |
| Номер | 1 |
| книга | |
| Автор | Иванов С.В. |
| Название | Математический кружок |
| глава | |
| Номер | 1 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 22 |
| Кружок | |
| Название | Кировская ЛМШ |
| класс | |
| Класс | 6 |
| год | |
| Год | 2000 год |
| Место проведения | Вишкиль |
| занятие | |
| Номер | Чётность-2 |
| Название | Чётность-2 |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 08 |
