ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97981
Темы:    [ Подсчет двумя способами ]
[ Четность и нечетность ]
[ Куб ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?


Решение 1

  Произведение всех 14 чисел равно четвёртой степени произведения чисел в вершинах и потому положительно. Следовательно, среди 14 чисел чётное количество минус единиц, а их сумма равна 0, только когда минус единиц ровно 7.


Решение 2

  Заметим, что изменив знак одного числа в вершине мы, изменяем знак чисел, стоящих в центрах трёх граней. Так как старая сумма четырёх изменившихся чисел чётна, то сумма всех чисел изменится на число, кратное 4 (на 0, 4 или 8).
  Если в каждой вершине куба стоит единица, то и в центре каждой грани стоит 1, и сумма всех чисел равна 14. Таким образом, при любых изменениях знаков чисел в вершинах сумма всех чисел не будет делиться на 4, в частности, не может быть равна нулю.


Ответ

Не может.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 1
книга
Автор Иванов С.В.
Название Математический кружок
глава
Номер 1
Название Четность
Тема Четность и нечетность
задача
Номер 22
Кружок
Название Кировская ЛМШ
класс
Класс 6
год
Год 2000 год
Место проведения Вишкиль
занятие
Номер Чётность-2
Название Чётность-2
Тема Четность и нечетность
задача
Номер 08

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .