Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Найдётся ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число?
Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.
В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?
|
|
 |
Условие
В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?
Решение
Количество членов ячейки после каждого собрания меняет чётность. Если бы удалось реализовать все возможные составы ячейки, то разность количеств возможных "чётных" и "нечётных" составов была бы равна ±1 или 0.
Количество всех нечётных подмножеств множества из 11 элементов равно количеству всех его чётных подмножеств (см. решение задачи 30711). Но из первого количества мы должны отбросить 11 одноэлементных подмножеств, а из второго – пустое множество и 55 пар. Таким образом, количество нечётных ячеек на 45 больше количества чётных, и реализовать все возможные составы ячейки не удастся.
Ответ
Не может.
Замечания
6 баллов
