|
|
 |
Условие
Числовая последовательность {xn} такова, что для каждого n > 1 выполняется условие: xn+1 = |xn| – xn–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.
Решение
Рассмотрим на координатной плоскости преобразование f, переводящее точку (x, y) в точку f(x, y) = (|x| – y, x). Тогда f(xn, xn–1) = (xn+1, xn). Поэтому достаточно доказать, что девятикратное применение преобразования f возвращает все точки на место.
Заметим, что это преобразование однородно: f(tx, ty) = tf(x, y), то есть луч переходит в луч (все рассматриваемые лучи выходят из начала координат). Последовательные образы луча l1, натянутого на вектор (1, 0), – лучи l2, …, l9, натянутые на векторы (1, 1), (0, 1), (–1, 0), (1, –1), (2, 1), (1, 2), (–1, 1),
(0, –1); образом луча l9 снова является l1. Эти лучи расположены в порядке l1, l6, l2, l7, l3, l8, l4, l9, l5 и разбивают плоскость на девять углов (см. рис.).
(2a + b, a + b), (a, 2a + b), (– a – b, a), (b, – a – b), (a + 2b, b), (a + b, a + 2b), (– b, a + b) – по одной соответственно в 7-м, 9-м, 2-м, 4-м, 6-м, 8-м, 1-м, 3-м и 5-м углах. Итак, эти орбиты заполняют всю плоскость. Начав из другого угла, мы пройдём по той же орбите, только со сдвигом на несколько шагов.
Замечания
5 баллов
