Задача 98133

Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Авторы: Фомин Д., Смирнов С.К.

Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.

Решение

Каждому товару сопоставим число – сколько дней в течение месяца этот товар дорожал вдвое. Все цены первого числа следующего месяца различны, значит, эти числа для всех товаров различны. Среди 10 различных целых чисел наименьшее от наибольшего отличается по крайней мере на 9. Итак, есть два товара, цена которых различается не менее чем в (³/₂)⁹ раз, а  (³/₂)⁹ = (²⁷/₈)³ > 3³ = 27.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1
web-сайт
задача