Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.
В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?
Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты, AC > AB. На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5.
В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.
В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира
оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?
Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?
|
|
 |
Условие
Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?
Решение
Оценка. Сумма чисел трёх первых столбцов не меньше суммы первых 15 натуральных чисел, то есть не меньше 120.
Прибавим ко всем числам первого столбца по двойке, а ко всем числам второго – по единице. При этом числа в каждой строке будут идти в неубывающем порядке, поэтому сумма чисел в третьем столбце будет не меньше, чем в каждом из двух первых, то есть не меньше (120 + 5 + 10) : 3 = 45.
Пример расположения чисел, при котором сумма среднего столбца равна 45:
Аналогичное рассуждение даёт максимальную сумму 85 (рассматривается наибольшая возможная сумма чисел трёх последних столбцов).
Ответ
Наименьшее – 45, наибольшее – 85.
Замечания
1. 5 баллов.
2. Ср. с задачей 73704.
