Условие
Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты, AC > AB. На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5.
Решение
Заметим, что точка D симметрична A относительно биссектрисы BF угла B.
Пусть AB = 6, AC = 8, BC = 10. Биссектриса BF делит AC в отношении 3 : 5, значит, AF = 3. Следовательно, AF = FE = FD, и D лежит на окружности радиуса 3 с диаметром AE.
Пусть угол ADE прямой.
Первый способ. Пусть CE = 1, F – середина AD. Тогда прямоугольные треугольники BFA и ADE равны (по гипотенузе и острому углу), поэтому AD = 2DE. Кроме того, DE || BF (обе прямые перпендикулярны AD), поэтому треугольники CDE и CAD подобны. Значит, AC : CD = CD : CE = AD : DE = 2 : 1, откуда
CD = 2, AC = 4, AB = AE = 3.
Второй способ. Зафиксируем точки A, B и E так, что AB = AE = 3, ∠ABE = 90°. Точка D – пересечение окружности радиуса 3 с центром в B и окружности с диаметром AE (рис. справа). Поэтому она, а значит, и точка C определена однозначно. Выше показано, что AC = 4 подходит, поэтому других вариантов нет.
Замечания
6 баллов
