ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98128
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Паровян А.

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.


Решение

  Заметим, что точка D симметрична A относительно биссектрисы BF угла B.
  Пусть  AB = 6,  AC = 8,  BC = 10.  Биссектриса BF делит AC в отношении  3 : 5,  значит,  AF = 3.  Следовательно,  AF = FE = FD,  и D лежит на окружности радиуса 3 с диаметром AE.

  Пусть угол ADE прямой.

  Первый способ. Пусть  CE = 1,  F – середина AD. Тогда прямоугольные треугольники BFA и ADE равны (по гипотенузе и острому углу), поэтому  AD = 2DE.  Кроме того,  DE || BF  (обе прямые перпендикулярны AD), поэтому треугольники CDE и CAD подобны. Значит,  AC : CD = CD : CE = AD : DE = 2 : 1,  откуда
CD = 2,  AC = 4,  AB = AE = 3.

  Второй способ. Зафиксируем точки A, B и E так, что  AB = AE = 3,  ∠ABE = 90°.  Точка D – пересечение окружности радиуса 3 с центром в B и окружности с диаметром AE (рис. справа). Поэтому она, а значит, и точка C определена однозначно. Выше показано, что  AC = 4  подходит, поэтому других вариантов нет.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1992
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1351
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .