Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
H — точка пересечения высот. Докажите, что
a2 + b2 + c2 = 9R2 - OH2.
Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём P(P(x)) ≡ Q(Q(x)) и P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда P(x) ≡ Q(x)?
На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?
|
|
 |
Условие
На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?
Решение
Первый способ. В одной клеточке чёрный треугольник можно расположить четырьмя способами (двумя способами можно выбрать диагональ и двумя способами можно выбрать какой из треугольников будет чёрным). Легко проверить, что если знать расположение треугольников в клеточках на главной диагонали, положение треугольников в остальных клеточках восстанавливается единственным образом. Следовательно, число правильных покрытий равно 48 = 216.
Второй способ. Левую верхнюю клетку можно покрыть четырьмя способами. Соседнюю с ней по горизонтали – уже двумя способами, следующую соседнюю – снова двумя способами, и так далее. Получаем, что верхнюю строку можно покрыть 2²·27 = 29 способами. Оставшиеся семь клеток левого столбца аналогично можно покрыть 27 способами. Всего получаем 216 способов. Если в квадрате 2×2 уже покрыто три клетки, то, как легко проверить, четвёртая покрывается однозначно. Следовательно, вся оставшаяся часть доски покрывается однозначно.
Ответ
216 покрытий.
Замечания
4 балла
