Задача 98248

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Прямая отрезает от правильного n-угольника со стороной 1 треугольник APQ так, что  AP + AQ = 1  (A – вершина n-угольника).
Найдите сумму углов, под которыми отрезок PQ виден из всех вершин n-угольника, кроме A.

Решение

Вместо того чтобы менять положение вершины, из которой мы смотрим на отрезок QP можно вершину зафиксировать, а менять положение стороны (вращая n-угольник). Таким образом, интересующая нас сумма равна сумме углов, под которыми из точки A видны все стороны правильного n-угольника, вписанного в данный, одна из сторон которого – PQ. А эта сумма равна  ∠PAQ = ^π(n–2)/_n.

Ответ

^π(n–2)/_n.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1995
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1502