ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 98248  (#М1502)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прямая отрезает от правильного n-угольника со стороной 1 треугольник APQ так, что  AP + AQ = 1  (A – вершина n-угольника).
Найдите сумму углов, под которыми отрезок PQ виден из всех вершин n-угольника, кроме A.
Прислать комментарий     Решение


Задача 98253  (#М1504)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Теорема Виета ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел  a/b + b/c + c/a  и  b/a + c/b + a/c  ровно одно – целое?

б) Докажите, что если они оба целые, то  a = b = c.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98268  (#М1506)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Итерации ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Разбейте отрезок  [0, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку  (a, b)  называется число  p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 98259  (#М1508)

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Троичная система счисления ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .