|
|
 |
Условие
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки
так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)
б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
Решение
а) Проверим, что разбиение на чёрные отрезки [0, ¼], [¾, 1] и белый [¼, ¾] – "хорошее". Очевидно, достаточно проверить выполнение условия для многочленов 1, x и x². Для первых двух многочленов это очевидно, а для третьего приращение по белому интервалу равно 9/16 – 1/16 = ½, а сумма приращений по чёрным отрезкам такая же: 1/16 + (1 – 9/16).
б) Заметим, что из "хорошего" разбиения для одного отрезка можно сдвигом и растяжением (сжатием) получить "хорошее" разбиение для любого другого отрезка: при этих операциях степени многочленов не меняются.
Будем строить "хорошие" разбиения для многочленов степени не выше n по индукции.
База. Для многочленов степени 0 можно отрезок не разбивать: приращение по отрезку равно нулю.
Шаг индукции. Рассмотрим "хорошее" разбиение отрезка [0, 1] для многочленов степени не выше n и отразим его симметрично относительно нуля. Если n чётно, сменим окраску отрезков разбиения на [–1, 0] на противоположную, если нечётно – оставим прежней. Мы получили "хорошее" разбиение отрезка [–1, 1] для многочленов степени не выше n. Но оно будет "хорошим" и для многочлена xn+1: при чётном n из-за нечётности этой функции, а при нечётном n – из-за ее чётности. Следовательно, оно "хорошее" для всех многочленов степени не выше n + 1.
Ответ
а) Отрезки [0, ¼], [¾, 1] – чёрные, [¼, ¾] – белый. б) Удастся.
Замечания
1. Баллы: 3 + 4.
2. Ср. с задачей 107793.
3. В Задачнике "Кванта" задача предлагалась в другой, но эквивалентной формулировке.
