Задача 98253

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Грибалко А.В.

а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел  ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a  и  ^b/_a + ^c/_b + ^a/_c  ровно одно – целое?

б) Докажите, что если они оба целые, то  a = b = c.

Решение

  a) Например,  a = 1,  b = 2,  c = 4.

  б) См. задачу 107788.

Ответ

а) Существуют.

Замечания

В примере из а)  ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a = 5.  Если  ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a = 3,  то, очевидно,  a = b = c.  Неизвестно, существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что
^a/_b + ^b/_c + ^c/_a = 4.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1995
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1504