ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98263
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).

 

Решение

  Для  n = 1  утверждение проверяется непосредственно.
  Пусть  n > 1  и     Тогда     Разложим     на простые множители; в разложении получится
n + 1  множитель 2,  n + 1  множитель 5 и все множители числа a. Числа  k – 3  и  k + 3  не могут оба делиться на 5, значит, все множители 5 содержатся либо в  k – 3,  либо в  k + 3,  а остальные множители как-то распределены между  k – 3  и  k + 3.  Следовательно, разность между этими числами не менее  5n+1 – 9·2n+1 > 6  при  n > 1.  Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .