|
|
 |
Условие
а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.
Решение
а) Назовём плиткой шестиугольник, равный салфетке и с горизонтальной (параллельной общей прямой из условия) стороной. Заметим, что центр плитки будет внутри/на границе салфетки тогда и только тогда, когда центр салфетки находится внутри/на границе плитки (при симметрии относительно середины отрезка, соединяющего эти центры, салфетка переходит в плитку). Назовем паркетом разбиение плоскости стола на плитки. Пусть нам удалось сделать удачный паркет: ни один центр салфетки не попал на границу плитки паркета. Тогда центр каждой салфетки лежит внутри какой-нибудь одной плитки. Центр этой (и только этой) плитки лежит внутри салфетки – в него и вобьём гвоздь.
Если наугад выбранный паркет оказался неудачным, выберем направление, не параллельное сторонам плиток. Проведём из центра каждой салфетки луч в этом направлении. Не считая центра, луч впервые пересечёт границу плиток на некотором расстоянии от центра. Пусть d меньше всех этих расстояний, но больше нуля. Если сдвинуть паркет на расстояние d в направлении, противоположном выбранному, то центры салфеток на границы плиток не попадут, а те, что были на границах, – уйдут.
б) Построим контрпример. Будем считать, что все салфетки расположены горизонтальной стороной вниз.
Положим на стол лист миллиметровой бумаги размером 1 м × 1 м (одна из сторон листа горизонтальна). Затем разложим поверх него салфетки со стороной 10 см, так, чтобы центры всех салфеток попали во все узлы миллиметровки. Предположим, что удалось вбить в стол гвозди в соответствии с условием задачи.
Рассмотрим гвоздь Г, вбитый в салфетку, центр которой совпадает с центром листа. Среди салфеток, прибитых этим гвоздем, рассмотрим те, от нижнего основания которых Г отстоит не более чем на 1 мм. Выберем среди этих салфеток 90, "идущих подряд", то есть получающихся друг из друга сдвигом
на 1 мм по горизонтали. Эти 90 салфеток в совокупности покрывают область Z, представляющую собой шестиугольник с 90 маленькими треугольными "зубчиками" на верхней стороне (на рисунке зубчики не изображены).
1) эти салфетки не пробиты гвоздем Г;
2) лишь небольшие части A0 и B0 этих салфеток (кусочки, прилегающие к верхней вершине), выходят за пределы области Z;
3) A0 и B0 не пересекаются.
Таким образом, в A0 и в B0 должны быть вбиты гвозди. Эти гвозди можно покрыть прямоугольником (см. рис.), с горизонтальной стороной
90 мм и вертикальной – 2 мм. Очевидно, что на столе имеется много салфеток, каждая из которых целиком покрывает этот прямоугольник. Все эти салфетки, тем самым, пробиты двумя гвоздями. Противоречие.
Ответ
а) Всегда; б) не всегда.
Замечания
Баллы: 4 + 4
