ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98374
Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Малые шевеления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.


Решение

  а) Назовём плиткой шестиугольник, равный салфетке и с горизонтальной (параллельной общей прямой из условия) стороной. Заметим, что центр плитки будет внутри/на границе салфетки тогда и только тогда, когда центр салфетки находится внутри/на границе плитки (при симметрии относительно середины отрезка, соединяющего эти центры, салфетка переходит в плитку). Назовем паркетом разбиение плоскости стола на плитки. Пусть нам удалось сделать удачный паркет: ни один центр салфетки не попал на границу плитки паркета. Тогда центр каждой салфетки лежит внутри какой-нибудь одной плитки. Центр этой (и только этой) плитки лежит внутри салфетки – в него и вобьём гвоздь.
  Если наугад выбранный паркет оказался неудачным, выберем направление, не параллельное сторонам плиток. Проведём из центра каждой салфетки луч в этом направлении. Не считая центра, луч впервые пересечёт границу плиток на некотором расстоянии от центра. Пусть d меньше всех этих расстояний, но больше нуля. Если сдвинуть паркет на расстояние d в направлении, противоположном выбранному, то центры салфеток на границы плиток не попадут, а те что были на границах – уйдут.

  б) Построим контрпример. Будем считать, что все салфетки расположены горизонтальной стороной вниз.
  Положим на стол лист миллиметровой бумаги размером  1 м × 1 м  (одна из сторон листа горизонтальна). Затем разложим поверх него салфетки со стороной 10 см, так, чтобы центры всех салфеток попали во все узлы миллиметровки. Предположим, что удалось вбить в стол гвозди в соответствии с условием задачи.
  Рассмотрим гвоздь Г, вбитый в салфетку, центр которой совпадает с центром листа. Среди салфеток, прибитых этим гвоздем, рассмотрим те, от нижнего основания которых Г отстоит не более чем на 1 мм. Выберем среди этих салфеток 90, "идущих подряд", то есть получающихся друг из друга сдвигом
на 1 мм по горизонтали. Эти 90 салфеток в совокупности покрывают область Z, представляющую собой шестиугольник с 90 маленькими треугольными "зубчиками" на верхней стороне (на рисунке зубчики не изображены).

  Рассмотрим теперь две салфетки A и B, получающиеся сдвигом на 1 мм вверх 30-й и 60-й из указанных салфеток. Ясно, что
    1) эти салфетки не пробиты гвоздем Г;
    2) лишь небольшие части A0 и B0 этих салфеток (кусочки, прилегающие к верхней вершине), выходят за пределы области Z;
    3) A0 и B0 не пересекаются.
  Таким образом, в A0 и в B0 должны быть вбиты гвозди. Эти гвозди можно покрыть прямоугольником (см. рис.), с горизонтальной стороной
90 мм и вертикальной – 2 мм. Очевидно, что на столе имеется много салфеток, каждая из которых целиком покрывает этот прямоугольник. Все эти салфетки, тем самым, пробиты двумя гвоздями. Противоречие.


Ответ

а) Всегда; б) не всегда.

Замечания

Баллы: 4 + 4

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1998
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М1634
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .