ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98415
Темы:    [ Математическая статистика ]
[ Средние величины ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число Q – показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны.
  а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
  б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
  в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное – часть жителей В переехала в Б, а часть жителей Б – в А. Оказалось, что в результате рейтинги всех трёх стран опять выросли (по сравнению с теми, которые были после первого переезда, но до начала второго). (Так, во всяком случае, утверждают информационные агентства этих стран.) Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)?

(Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.)


Решение

  а) Пусть, например, в А жили всего два человека с показателями 3 и 5, а в Б – один человек с показателем 1. После переезда человека с показателем 3 из А в Б в обеих странах рейтинг повысится.
  б) Сначала заметим, что если все население страны разбито на две группы X и Y с рейтингами соответственно qX и qY, то рейтинг q всей страны находится между qX и qY (причём равенство будет только в случае  qX = qY).
  Обозначим через a и b рейтинги стран А и Б до эмиграции из А в Б, через a1 и b1 – рейтинги этих стран после этой эмиграции, а через c – рейтинг группы эмигрантов. По условию  a < a1.  Отсюда, как показано выше, следует, что  c < a < a1  (до эмиграции А разбита на группу эмигрантов с рейтингом c и группу остающихся с рейтингом a1).
  Аналогично  b < b1 < с.  Итак,  b < a  и  b1 < a1.  Первое неравенство показывает, что увеличение рейтингов обеих стран возможно только при эмиграции из страны с большим рейтингом в страну с меньшим рейтингом. Второе неравенство показывает, что рейтинг страны А остался выше рейтинга страны Б. Таким образом, одновременное увеличение рейтингов при эмиграции из Б в А невозможно.
  в) Пусть в стране А всего два жителя с показателями  Q = 1 и 2,  в стране Б – четыре жителя  (Q = 2, 2, 4, 10),  в стране В – один житель  (Q = 1).  При первой волне эмиграции из А в Б эмигрировал один человек с  Q = 1,  а из Б в В – двое с  Q = 2.  При второй волне из В в Б переехал один человек с
Q = 1,  а из Б в А – двое с  Q = 1 и 4.  Рейтинги стран при этом менялись так:  А – 1,5 → 2 → 2⅓;  Б – 4,5 → 5 → 5,5;  В – 1 → 1⅔ → 2.


Ответ

б) Не может; в) может.

Замечания

1. Идея построения примера в пункте в) основана на помещении в страну Б группы "гениев" (с очень высоким Q). Возможны также принципиально другие примеры, основанные на очень низком рейтинге страны Б по сравнению с двумя другими странами.

2. Баллы: 1 + 3 + 2.

3. В формулировке, предложенной на Турнире Ломоносова, п. в) отсутствовал.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 1998
Название конкурс по математике
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .