Задача 98452

Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Прасолов В.В.

Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?

Решение

Предположим, это сделать удалось. У 25 отрезков чётной длины концы находятся в точках с координатами одной чётности, у 25 отрезков нечётной длины – в точках с координатами разной чётности. Значит, количество "нечётных" концов нечётно, что противоречит условию (среди чисел от 1 до 100 нечётных – 50).

Ответ

Нельзя.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4