Задача 98505

Темы:    [ Рациональные функции (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Скопенков М.Б.

Целые ненулевые числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
  a) Докажите, что число n чётно.
  б) При каком наименьшем n такие числа существуют?

Решение

  а) Пусть n нечётно. Рассмотрим промежуток  (b, +∞),  где число b больше всех точек разрыва функции в левой части. Функция  a_n + ¹/_x  на этом промежутке убывает, функция     возрастает, ..., функция в левой части данного равенства убывает. А функция в правой части возрастает. Противоречие.

  б) При  n = 2  такое равенство невозможно. Действительно, функция     – дробно-линейна (со знаменателем  a₂x + 1),  и прямая  y = x  пересекает её график не более чем в двух точках.
  При  n = 4  равенство уже возможно. Например,  

Ответ

б) При  n = 4.

Замечания

Идеология. Вот один из идейных способов построения указанного примера. Будем искать обратную к самой себе дробно-линейную функцию    Тогда  f(f(x)) имеет нужный вид. Функция обратна сама себе, если её график симметричен относительно прямой  y = x.  Для дробно-линейной функции достаточно, чтобы относительно этой прямой были симметричны её асимптоты:  x = – ¹/_b  и  y = a + ¹/_b.  Отсюда  – ¹/_b = a + ¹/_b,  то есть  b = – ²/_a.

2. Баллы: 3 + 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4