Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш.
Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа.
В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
|
|
 |
Условие
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
Решение
Пусть а1 ≥ а2 ≥ а3 ≥ ... ≥ аn – числа двоек, полученных отдельными учениками. Из условия следует, что в группе из пяти человек главный двоечник получил двоек минимум вчетверо больше остальных, то есть аk ≥ 4(аk+1 + аk+2 + аk+3 + аk+4). (*)
А утверждение задачи равносильно тому, что самый главный двоечник получил двоек втрое больше остальных вместе взятых.
Первый способ. Из неравенства (*) следует, что аk > 3(аk+1 + аk+2 + аk+3 + аk+4) + аk+1. Отсюда
а1 > 3(а2 + ... + а5) + а2 > 3(а2 + ... + а5) + 3(а3 + ... + а6) + а3 > 3(а2 + ... + а6) + а3 > 3(а2 + ... + а7) + а4 > ... > 3(а2 + ... + аn) + an–3 > 3(а2 + ... + аn).
Второй способ. аk ≥ 4(аk+1 + аk+2 + аk+3 + ak+4) ≥ 16аk+4. Отсюда
а2 + а3 + ... + аn = (а2 + а3 + а4 + а5) + (а6 + а7 + а8 + а9) + ... ≤ (а2 + а3 + а4 + а5)(1 + 1/16 + 1/16² + ...) = 16/15 (а2 + а3 + а4 + а5) ≤ 4/15 а1 < ⅓ а1.
Замечания
5 баллов
