Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна 1/n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)
Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.
Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными
номерами F-1, F-2, ..., F-n,...?
В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.
Докажите, что точки, симметричные точке пересечения
высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат
на описанной окружности.
Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?
Некто приобрел
пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон.
Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц
пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со
второго месяца жизни также начинают приносить приплод?
а) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за семь взвешиваний?
б) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?
|
|
 |
Условие
а) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за семь взвешиваний?
б) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?
Решение
а) Пусть имеется две группы по 2k монет, и известно, что первая из групп тяжелее второй. Тогда за одно взвешивание можно получить две группы по k монет с тем же свойством. Действительно, положим на чаши весов по k монет из каждой группы. Если весы в равновесии (а в противном случае искомые группы уже выделены), то оставшаяся на столе половина более тяжёлой группы весит больше, чем оставшаяся половина "лёгкой" группы.
Вернёмся к решению задачи. Положим на каждую чашу по 64 монеты. Если весы находятся в равновесии, то на каждой чаше – по 32 лёгкие и 32 тяжёлые монеты. "Выбросим" монеты с одной из чаш, а оставшиеся разделим пополам и снова взвесим и т.д. Возможны два случая.
1) При первых шести взвешиваниях весы находятся в равновесии. В этот момент на каждой из чаш лежит по две монеты – одна лёгкая и одна тяжёлая.
2) При m-м взвешивании впервые одна из чашек перевесила. В этот момент на чашах лежит по 27–m монет. Действуя, как показано выше, можно за
7 – m взвешиваний (сокращая на каждом шаге число монет вдвое) прийти к двум "кучкам" по одной монете, из которых одна тяжелее другой.
б) Положим на чашки по четыре монеты. Возможны два случая.
1) Весы в равновесии. Тогда на каждой чашке лежит по две тяжёлые и две лёгкие монеты. Снимем монеты с одной из чашек, а две монеты с другой чашки переложим на освободившуюся. Если весы в равновесии, то на каждой из чашек по две монеты разного веса. Если одна из чашек перевесила, то на ней две тяжёлые монеты, а на другой – две лёгкие.
2) Одна из чашек перевесила. Значит, на ней лежит не менее трёх тяжёлых монет. Снимем монеты с "лёгкой" чашки, а две монеты с "тяжёлой" чашки переложим на освободившееся место. Если весы в равновесии, то на каждой из чашек по две тяжёлые монеты (а все отложенные после первого взвешивания монеты – лёгкие). Если одна из чашек перевесила, то на ней две тяжёлые монеты, а на другой – две монеты разного веса.
Замечания
баллы: 3 + 3
