Версия для печати
Убрать все задачи

---

В отель ночью приехали $100$ туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера $1$, $2, \ldots, n$, из которых $k$ на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остаётся там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя проверять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого $k$ укажите наименьшее $n$, при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга.

   Решение

Темы:    [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

Решение

  Нетрудно убедиться в том, что если перегорели только провода, выходящие из фиксированного узла, то между любыми двумя другими узлами ток проходит. Поэтому каждый узел должен быть задействован в процессе измерений, то есть число измерений не может быть меньше половины числа узлов (8 в случае а) и 18 в случае б)).
  Покажем, что этого числа проверок достаточно. Для этого определенным образом разобьём все узлы на пары (узлы в паре пометим одинаковыми буквами) и для каждой проверим, что ток проходит между узлами этой пары.

  а) "Линия тока"  A–A  (B–B)  очевидно пересекается с линиями  C–C  и  D–D  (см. шаг 1). Таким образом, все узлы, помеченные буквами от A до D, связаны проводами (принадлежат одной компоненте). Остальные узлы также принадлежат этой компоненте – например линия тока  E–E  проходит либо через A, либо через C (см. шаг 2).

  б) Здесь потребуется три шага (см. рис.).

  На первом шаге все проверенные узлы принадлежат одной компоненте по теореме о пересечении ломаных. На втором шаге линия тока обязана пройти через один из узлов, принадлежащих компоненте, поскольку один из проверяемых узлов всегда окружен уже проверенными узлами. На третьем шаге проверяем узлы, симметричные относительно диагонали EEFGHH (каждая такая линия тока диагональ, очевидно, пересекает).

Замечания

1. Баллы: 5 + 5.

2. Ср. с задачей 98603.

Источники и прецеденты использования