ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98601
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что
  а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;
  б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.


Решение

  Пусть P – отличная от B точка пересечения прямой KM с описанной окружностью Ω3 треугольника QBR. Чтобы не перебирать многочисленные случаи взаимного расположения точек на окружностях, будем использовать ориентированные углы (см. Справочник). Для пояснения будем индексами 1, 2, 3 после знака равенства отмечать, в какой именно окружности рассматривались углы (вписанные или между касательной и хордой) по обе стороны равенства. Поскольку  ∠(QP, PK) = ∠(QP, PB) =3 ∠(QR, RB) = ∠(AR, RB) =2 ∠(AM, MB) = ∠(AM, PK),  то  QP || AM.  Аналогично,  RP || AK.

  а) По условию QP совпадает с l1, откуда  ∠(RB, BP) = ∠(RB, BM) =2 ∠(RA, AM) = ∠(RQ, QP) = ∠(AQ, l1) =1 ∠(AB, BQ).   Добавив к обеим частям равенства ∠(QB, BR),  получим  ∠(QB, BP) = ∠(AB, BR). (*)
  Следовательно,  ∠(AR, RP) = ∠(QR, RP) =3 ∠(QB, BP) =* ∠(AB, BR) = ∠(AR, l2),  то есть RP совпадает с касательной l2.

  б) Согласно вышеизложенному, эта общая точка – P.

Замечания

1. Для предварительной части решения параллельность касательной в точке Q и прямой AM несущественна. Рекомендуем сформулировать тот общий факт, который там доказан.

2. Для знатоков. Тот же факт можно доказать и без вспомогательной окружности. Проведём через Q прямую, параллельную AM, до пересечения с KM в точке P. Тогда  QP || AM.  Кроме того, очевидно,  QK || RM.  По вырожденной теореме Паппа (см. задачу 56467 а) для троек точек K, P, M и Q, A, R   RP || AK.

3. Баллы: 4 + 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .