|
|
 |
Условие
Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что
а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;
б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.
Решение
Пусть P – отличная от B точка пересечения прямой KM с описанной окружностью Ω3 треугольника QBR. Чтобы не перебирать многочисленные случаи взаимного расположения точек на окружностях, будем использовать ориентированные углы (см. Справочник). Для пояснения будем индексами 1, 2, 3 после знака равенства отмечать, в какой именно окружности рассматривались углы (вписанные или между касательной и хордой) по обе стороны равенства. Поскольку ∠(QP, PK) = ∠(QP, PB) =3 ∠(QR, RB) = ∠(AR, RB) =2 ∠(AM, MB) = ∠(AM, PK), то QP || AM. Аналогично, RP || AK.
а) По условию QP совпадает с l1, откуда ∠(RB, BP) = ∠(RB, BM) =2 ∠(RA, AM) = ∠(RQ, QP) = ∠(AQ, l1) =1 ∠(AB, BQ). Добавив к обеим частям равенства ∠(QB, BR), получим ∠(QB, BP) = ∠(AB, BR). (*)
Следовательно, ∠(AR, RP) = ∠(QR, RP) =3 ∠(QB, BP) =* ∠(AB, BR) = ∠(AR, l2), то есть RP совпадает с касательной l2.
б) Согласно вышеизложенному, эта общая точка – P.
Замечания
1. Для предварительной части решения параллельность касательной в точке Q и прямой AM несущественна. Рекомендуем сформулировать тот общий факт, который там доказан.
2. Для знатоков. Тот же факт можно доказать и без вспомогательной окружности. Проведём через Q прямую, параллельную AM, до пересечения с KM в точке P. Тогда QP || AM. Кроме того, очевидно, QK || RM. По вырожденной теореме Паппа (см. задачу 56467 а) для троек точек K, P, M и Q, A, R RP || AK.
3. Баллы: 4 + 4.
