Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

   Решение

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

   Решение

Соедините точки А и В (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы выполнялись следующие условия:
  1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
  2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
  3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вася пишет на доске квадратное уравнение  ax² + bx + c = 0  с натуральными коэффициентами a, b, c. После этого Петя, если хочет, может заменить один или два знака "+" на "–". Если у получившегося уравнения оба корня целые, то выигрывает Вася, если же корней нет или хотя бы один из них нецелый – Петя. Может ли Вася подобрать коэффициенты уравнения так, чтобы наверняка выиграть у Пети?

Решение

См. задачу 105156.

Ответ

Может.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования