Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что  p : q = R : r,  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

AB — диаметр окружности, BC и CDA — касательная и секущая. Найдите отношение CD : DA, если BC равно радиусу окружности.

   Решение

В трапеции ABCD основание  AB = a,  основание  CD = b  (a < b).  Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD.
Найдите диагональ AC.

   Решение

Дано число x, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство

[] = []?

   Решение

Докажите, что две непересекающиеся окружности S₁ и S₂ (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

   Решение

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

   Решение

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ] [ Перебор случаев ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

Решение 1

  Если эта сумма кратна 3 (наименьшее возможное число 9), используем только 3-рублевые купюры. Если при делении на 3 она даёт остаток 1 (наименьшее возможное число 10), то берём две 5-рублевые купюры, остальное доплачиваем 3-рублевыми. Если же при делении на 3 сумма даёт остаток 2 (наименьшее возможное число 8), то берём одну 5-рублевую купюру, остальное доплачиваем 3-рублевыми.

Решение 2

  Докажем это по индукции.
  База: сумму в 8 рублей выплатить можно.
  Шаг индукции. Пусть сумму в n рублей можно выплатить 3- и 5-рублевыми купюрами. Если среди этих купюр есть хоть одна 5-рублевая, то заменив её на две 3-рублевые, мы получим  n + 1  рублей. Если же все купюры 3-рублевые, то их не меньше трёх, и, заменив три 3-рублевые купюры на две 5-рублевые, мы тоже получим  n + 1  рублей.

Ответ

Любую.

Источники и прецеденты использования