Страница:
<< 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 499]
Найдите все натуральные числа x, удовлетворяющие условиям: произведение цифр числа x равно 44x – 86868, а сумма цифр является кубом натурального числа.
Решение
Пусть an...a0 – десятичная запись числа a. Тогда a ≥ an·10n ≥ anan−1·9n ≥ anan−1...a0. Отсюда следует, что x ≥ 44x − 86868, откуда x ≤ 2020. С другой стороны, произведение цифр любого числа неотрицательно, а значит, 44x ≥ 86868, откуда x ≥ 1975. Для чисел от 2000 до 2020 произведение цифр равно нулю, что не может быть равно 44x − 86868 (так как 86868 не делится на 44). Следовательно, 1975 ≤ x ≤ 1999, а значит, сумма цифр числа x не меньше 1 + 9 = 10 и не больше 1 + 9 + 9 + 9 = 28. В этом промежутке есть только один точный куб, следовательно, сумма цифр числа x равна 27, а значит, либо x = 1989, либо x = 1998. В обоих случаях произведение цифр равно 1·9·9·8 = 648. Следовательно, 44x = 86868 + 648 = 87516, откуда
x = 1989.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Каких нечётных натуральных чисел n < 10000 больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа n9, больше n, или тех, для которых оно меньше n?
Решение
Пусть N – число, образованное последними четырьмя цифрами числа n9, где n – нечётное число, меньшее 10000. Заметим, что число, образованное последними четырьмя цифрами числа 
совпадает с числом 10000 − N. Кроме того, N > n тогда и только тогда, когда 10000 − N < 10000 − n. Следовательно, число n принадлежит первому множеству тогда и только тогда, когда число 10000 − n принадлежит второму множеству. Значит, чисел в этих множествах поровну.
Ответ
Поровну.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Дано натуральное число M. Докажите, что существует число, кратное M, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.
Решение
Рассмотрим числа P = 10nM – М и Q = 10n+1M – М, где n больше количества цифр М. Запись числа Q получается из записи числа P "вставкой" одной девятки. Значит, их суммы цифр отличаются на 9, следовательно, ровно одна из них нечётна.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Через S(n) обозначим сумму цифр числа n (в десятичной записи).
Существуют ли три таких различных натуральных числа m, n и p, что m + S(m) = n+S(n) = p + S(p)?
Решение
Вот одна из таких троек:
m = 9999999999999, S(m) = 117; n = 10000000000098, S(n) = 18; p = 10000000000107, S(p) = 9.
Для этих чисел m + S(m) = n + S(n) = p + S(p) = 10000000000116.
Ответ
Существуют.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что для любого натурального числа d существует делящееся на него натуральное число n, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на d.
Решение
Число n можно записать в виде n = 10k(10a + b) + c, где 0 ≤ c < 10k, b – ненулевая цифра, которую вычеркиваем, a – число, образованное цифрами, стоящими левее b. Тогда после вычеркивания получится число n1 = 10ka + c. Разность этих чисел – n – n1 = 10k(9a + b). Чтобы выполнялось условие задачи, достаточно, чтобы числа 9a + b и 10ka + c делились на d.
Если d не делится на 9, то в качестве b возьмём остаток от деления d на 9, иначе положим b = 9. Тогда d – b делится на 9, и мы возьмём a = 1/9 (d – b). Имеем 9a + b = d, и осталось подобрать c и k, чтобы 10ka + c делилось на d. Пусть k – такое число, что 10k–1 > d. Число 10ka + 10k–1 разделим с остатком на d: 10ka + 10k–1 = dq + r, 0 ≤ r < d. Положим c = 10k–1 – r > 0, тогда 10ka + c = dq делится на d.
Страница:
<< 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 499]
Фильтр
