Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 178]      

Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы в каждой из частей была снежинка и из этих частей можно было бы сложить квадрат.

Решение

Прислать комментарий

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

Решение

  Разрежем квадрат на три "узких" прямоугольника (1×1, 2×1 и 4×1), три "средних" (1×2, 2×2 и 4×2) и три "широких" (1×4, 2×4 и 4×4).
  Из "узких" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 1. Аналогично из "средних" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 2, а из "широких" – прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 4. Из полученных "узкого", "среднего" и "широкого" прямоугольников нужной высоты можно сложить прямоугольник этой высоты и любой ширины от 1 до 7.

Ответ

Cм. рис.

Прислать комментарий

Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?

Подсказка

В качестве примера можно взять прямоугольный треугольник, в котором катеты относятся как 1:2.

Решение

Примером является прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=1 и BC=2. Укажем нужное разбиение этого треугольника. Проведем высоту CH из вершины C прямого угла. Треугольник ABC при этом разбивается на 2 подобных треугольника ACH и BCH. Коэффициент подобия этих треугольников равен AC/BC=1/2. Далее, треугольник BCH можно разбить средними линиями на 4 равных треугольника, каждый из которых подобен треугольнику BCH с коэффициентом подобия 1/2. В итоге треугольник ABC оказался разбитым на 5 треугольников, равных треугольнику ACH.

Прислать комментарий

На какое минимальное число равновеликих треугольников можно разрезать квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой?

Подсказка

Рассмотрите треугольники, примыкающие к вырезанной клетке и оцените площадь одного из них.

Решение

Пусть квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой (его площадь равна 63) разрезан на n треугольников, каждый из которых имеет площадь 63/n. Обозначим через A, B, C вершины вырезанной клетки. Рассмотрим треугольники, содержащие точку B. Нетрудно видеть, что таких треугольников по крайней мере два - у одного из них одна из сторон (назовем эту сторону a) соприкасается с отрезком AB, а у другого - из сторон (назовем эту сторону с) соприкасается с отрезком BC. Заметим, что одновременно не может сторона a выходить за пределы отрезка AB и сторона с выходить за пределы отрезка BС, так как в противном случае треугольники имели бы пересечение. Пусть, для определенности, сторона a не выходит за пределы отрезка AB. Тогда в треугольнике со стороной a длина стороны а не превосходит 1, а длина высоты, опущенной на сторону а, не превосходит 7 (иначе треугольник вышел бы за пределы квадрата). Таким образом, площадь этого треугольника не больше 7/2. Итак, 63/n не превосходит 7/2, откуда n не меньше 18. Пример разрезания на 18 равновеликих (и даже равных) треугольников показан на картинке.

Ответ

18.00

Прислать комментарий

Требуется разделить криволинейный треугольник на рисунке на 2 части одинаковой площади, проведя одну линию циркулем. Это можно сделать, выбрав в качестве центра одну из отмеченных точек и проводя дугу через другую отмеченную точку. Найдите способ это сделать и докажите, что он подходит.

Решение

Не умаляя общности, можно считать, что сторона квадрата равна 1. Заметим, что исходный криволинейный треугольник состоит из двух частей, из которых можно сложить квадрат со стороной 1. Поэтому нам достаточно доказать, что площадь любой из двух частей на рисунке слева равна $1/2$.

Самое сложное — посчитать площадь криволинейного треугольника $BLC$ (см. рисунок).

Из рисунка справа легко видеть, что площадь криволинейного треугольника $BLC$ равняется $\frac12\left(\frac{\pi\cdot (\sqrt{2})^2}{4}-1\right)=\frac{\pi}{4}-\frac12$. Но тогда площадь криволинейного треугольника $ALB$ (см. рисунок слева-сверху) равняется $\frac{\pi\cdot 1^2}{4}-\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\right)=\frac12$, что и требовалось.

Ответ

Ответ. С центром в точке $D$, проходящая через точку $L$ (см. рисунок вверху слева).

Прислать комментарий

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 178]