Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 52]
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$
Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor .
$$
Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
|
|
Сложность: 2+ Классы: 7,8,9
|
Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство [α/d] = [[α]/d].
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
Существуют ли такие целые числа
a и
b, что
а) уравнение
x² +
ax + b = 0 не имеет корней, а уравнение [
x²] +
ax + b = 0 имеет?
б) уравнение
x² + 2
ax + b = 0 не имеет корней, а уравнение [
x²] + 2
ax + b = 0 имеет?
|
|
Сложность: 3+ Классы: 10,11
|
Решить уравнение x³ – [x] = 3.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше q²/2, каково бы ни было q.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 52]