ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108182
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вокруг треугольника ABC описана окружность, к ней через точки A и B проведены касательные, которые пересекаются в точке M. Точка N лежит на стороне BC, причём прямая MN параллельна стороне AC. Докажите, что  AN = NC.


Решение

Обозначим  ∠MAB = ∠MBA = α.  Тогда  ∠ACB = α  и  ∠MNB = ∠ACB = α.  Таким образом, из точек N и A, лежащих по одну сторону от прямой BM, отрезок BM виден под одним и тем же углом, равным α. Значит, точки A, N, B и M лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы ANM и ABM опираются на одну и ту же дугу, поэтому  ∠ANM = ∠ABM = α = ∠ACN,  то треугольник ANC – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6529
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .