ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108192
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Дан четырёхугольник ABCD , в котором AB=AD и ABC= ADC=90o . На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF AE . Докажите, что AF BE .
Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Примените скалярное произведение векторов.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Обозначим = , = = и = . Тогда

= +- , = +, = +, = +- .

По условию DF AE и AD DE , поэтому
(+-) (+)=0.

Значит,
(+)(+) -(+) = (+)(+)- ||2-· =


=(+)(+)- ||2=0.

Поскольку AB BF , а ||=AB = AD= || , то
· = (+)(+- )=(+)(+)- ||2=


=(+)(+)- ||2=0.

Следовательно, AF BE .


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6539
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 95.4.10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .