Задача 108192

Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сонкин М.

Дан четырёхугольник ABCD , в котором AB=AD и ABC= ADC=90^o . На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF AE . Докажите, что AF BE .

Подсказка

Примените скалярное произведение векторов.

Решение

Обозначим = , = = и = . Тогда

= +- , = +, = +, = +- .
По условию DF AE и AD DE , поэтому
(+-) (+)=0.
Значит,
(+)(+) -(+) = (+)(+)- ||2-· =

=(+)(+)- ||2=0.
Поскольку AB BF , а ||=AB = AD= || , то
· = (+)(+- )=(+)(+)- ||2=

=(+)(+)- ||2=0.
Следовательно, AF BE .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6539
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	95.4.10.6