ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109853
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Скробот Д.

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.


Решение

  Пусть M– вторая точка пересечения ω со стороной AC. При гомотетии с центром A, переводящей окружность ω в Ω, прямая MK переходит в прямую CB, а следовательно, они параллельны (см. рис.)

  Значит,  AMK = ∠ACB = ∠ACT.  Из вписанности четырёхугольника AMLK имеем  ∠AMK = ∠ALK = ∠ALT.  Отсюда  ∠ACT = ∠ALT,  то есть ATLC – вписанный четырёхугольник. Следовательно,  ∠CTA = ∠CLA = ∠LKA, и значит,  ∠BTA = ∠BKT.  Поэтому треугольники BTA и BKT подобны по двум углам, откуда  BT² = BK·BA.
  C другой стороны, произведение BK·BA равно квадрату касательной, проведённой к ω из точки B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.5.9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .