ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109858
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Куб ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.


Решение

  Достроим шестиугольник до правильного треугольника (см. рис.).

  Вершины K, L и M этого треугольника лежат на продолжениях рёбер AB, AA1 и AD параллелепипеда. Из равенства прямоугольных треугольников KLA и MLA  (KL = LMAL – общий катет) следует, что  KA = MA.  Аналогично  KA = LA.  Так как  PQ  = ⅓ KM,  то из подобия треугольников LPQ и LKM, LPA1 и LKA следует, что  AA1 = ⅔ AL.  Аналогично  AB = ⅓ AK  и  AD = ⅔ AM.  Итак,  AB = AA1 = AD  и, значит, параллелепипед – куб.

Замечания

Если параллелепипед не прямоугольный, то он может и не быть кубом. Например, можно рассмотреть параллелепипед, получаемый вытягиванием куба вдоль его большой диагонали, и перпендикулярное этой диагонали сечение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 95.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .