Задача 110014
|
|
 |
Условие
Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных
чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.
(Каждый простой делитель учитывается один раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)
Решение
Если число n чётно, то есть n = 2m, то искомыми числами будут 4m и 2m. Пусть n нечётно, p1, ..., ps – его простые делители и p – наименьшее нечётное простое число, не входящее во множество {p1, ..., ps}. Тогда искомыми будут числа pn и (p – 1)n, так как, в силу выбора p, число p – 1 имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел p1, ..., ps.
