Задача 110152
|
|
 |
Условие
Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S1 , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S2 , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.Решение
Поскольку прямые KL и PQ , лежащие в плоскостях ABD и ABC , параллельны, то они параллельны прямой, по которой эти плоскости пересекаются, т.е. AB .
Тогда вписанные четырехугольники ABLK и ABQP являются трапециями, а, значит, равнобокими трапециями. Поэтому
Тогда пирамида ABCD симметрична относительно плоскости α – серединного перпендикуляра к AB , поскольку каждый из треугольников ABD и ABC симметричен относительно α . При этой симметрии точки K и L , а также P и Q переходят друг в друга, а точка M переходит в себя; поэтому углы KMQ и LMP переходят друг в друга.
Пусть β – плоскость, перпендикулярная к CD , проходящая через M ; поскольку C,D
Отложим на лучах MK , ML , MP , MQ единичные отрезки MK' , ML' , MP' , MQ' . Тогда точки K' и L' , а также P' и Q' симметричны относительно α , а точки K' и P' , L' и Q' симметричны относительно β ; отсюда K'L' || P'Q' , K'P'|| L'Q' , т.е. плоский четырехугольник K'L'Q'P' – параллелограмм.
Обозначим через O точку пересечения его диагоналей. Тогда MO – медиана, а значит, и биссектриса в равнобедренных треугольниках K'MQ' и L'MP' , что и требовалось доказать.
