Задача 110211

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки подобия ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Решение

  Обозначим через H ортоцентр треугольника ABC, через H₁, H₂, H₃ – основания высот на сторонах BC, CA, AB соответственно, а через A₁, B₁, C₁ – вторые точки пересечения окружностей.

  Так как прямая BC – касательная к окружности, проходящей через H и H₁ и  HH₁ ⊥ BC,  то HH₁ – диаметр одной из окружностей, данных в условии. Аналогично для двух других окружностей.
  Поэтому  ∠HC₁H₂ + ∠HC₁H₁ = 90° + 90° = 180°,  то есть C₁ лежит на отрезке H₁H₂. Аналогично  A₁ ∈ H₂H₃.  Точки B, H₂, H₃, C лежат на окружности с диаметром BC, следовательно,  ∠HH₂A₁ = ∠BH₂H₃ = ∠BCH₃ = 90° – ∠B.  Аналогично  ∠HH₂C₁ = 90° – ∠B.
  Значит, прямоугольные треугольники HH₂A₁ и HH₂C₁ равны, а точки A₁ и C₁ симметричны относительно HH₂.
  Следовательно,  A₁C₁ ⊥ HH₂,  откуда  A₁C₁ || AC.  Аналогично  B₁C₁ || BC  и  A₁B₁ || AB,  что и доказывает подобие треугольников.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.6