На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.

   Решение

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

   Решение

Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.

   Решение

Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности.

   Решение

Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что  AM : AC = CN : CE = . Найдите , если известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой.

   Решение

Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришёл в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?

   Решение

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Описанные четырехугольники ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды SABCD в точках, лежащих на рёбрах AB , BC , CD , DA . Известно, что высота пирамиды равна 2 , AB=9 , SA=6 , SB=9 , SC=2 . Найдите длины рёбер BC и CD , радиус сферы и двугранный угол при ребре SD .

Ответ

BC=17 , CD= ; R=4 ; ϕ = 2 arcsin .

Источники и прецеденты использования