На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.

   Решение

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

   Решение

Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.

   Решение

Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности.

   Решение

Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что  AM : AC = CN : CE = . Найдите , если известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой.

   Решение

Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришёл в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?

   Решение

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.

   Решение

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.

Подсказка

Проведите через данную точку касательную к данной окружности.

Решение

Проведём касательную к данной окружности с центром O в данной на ней точке M. Тогда все окружности, удовлетворяющие условию задачи, касаются проведённой прямой в точке M. Поэтому их центры лежат на прямой l, перпендикулярной к проведённой, и проходящей через данную точку, т.е. на прямой OM.

Обратно, любая точка прямой l, кроме центра O данной окружности и самой точки M, является центром какой-то окружности, удовлетворяющей условию задачи.

Ответ

Прямая без двух точек.

Источники и прецеденты использования