Докажите, что первые цифры чисел вида 2²ⁿ образуют непериодическую последовательность.

   Решение

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^x – 4^–x = 2 cos ax,  4^x + 4^–x = 2 cos ax + 4  равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

   Решение

Квадрат ABCD и равносторонний треугольник MKL расположены так, как это показано на рисунке. Найдите угол PQD.

   Решение

Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q . C – произвольная точка одной из окружностей, отличная от P и Q ; A , B – вторые точки пересечения прямых CP , CQ с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников ABC .

   Решение

Дан правильный шестиугольник с центром $O$. Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника так, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины α с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6α.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.

Решение

Решение 1. Рассмотрим центр $J$ вневписанной окружности треугольника $A B C$, касающейся стороны $A C$. Поскольку $\angle I A J=\angle I C J=90^{\circ}$ (биссектрисы смежных углов перпендикулярны), точки $A$ и $C$ лежат на окружности $\omega$ с диаметром IJ. По условию $\angle A C D=\angle N C D=\angle C I N=\angle C I J=\angle C A J$, аналогично $\angle C A D=\angle A C J$. Значит, треугольники $A C D$ и $C A J$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к общей стороне $A C$. Если точки $D$ и J совпадают, то треугольники $IAJ$ и $ICJ$ равны по катету и гипотенузе. Значит, прямая $I D=I J$ совпадает с указанным серединным перпендикуляром. Если они не совпадают, точка $D$ также лежит на $\omega$ и $DI \perp D J \| A C$.

Решение 2. Пусть перпендикуляр, опущенный из $I$ на $A C$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $A I C$ в точке $D'$. Тогда $$ \angle D' A C=\angle D' I C=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle C=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=\angle A I N . $$

Значит, $D'A$ - касательная к описанной окружности треугольника $AIN$. Аналогично $D' C$ — касательная к описанной окружности треугольника $CIN$. Следовательно, $D$ и $D'$ совпадают.

Решение 3. Нетрудно понять, что точки $I$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $A C$. Поскольку $\angle A C D=\angle N C D=\angle C I N, \angle C A D=\angle A I N$, то $$ \angle A D C=180^{\circ}-\angle A C D-\angle C A D=180^{\circ}-\angle A I C . $$

Значит, четырёхугольник $A I C D$ вписан. Один из углов между хордами $A C$ и $D I$ равен $$ \angle D A C+\angle A D I=\angle A I N+\angle A C I=\angle I A B+\angle A B I+\angle A C I=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B+\angle C)=90^{\circ} . $$

Источники и прецеденты использования