|
|
 |
Условие
Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.
Решение
Рассмотрим случай, когда X лежит внутри четырёхугольника ABCD, остальные разбираются аналогично. Пусть K, L, M, N –
проекции X на AB, BC, CD, DA; K', L', M', N' – точки, симметричные X относительно этих прямых. Так как K, L, M, N лежат на окружности, K', L', M', N' также лежат на окружности. Так как BK' = BX = BL', серединный перпендикуляр к отрезку K'L' проходит через B и является биссектрисой угла K'BL', то есть симметричен BX относительно биссектрисы угла B. Следовательно, четыре прямые, симметричные прямым, соединяющим X с вершинами четырёхугольника ABCD, относительно биссектрис соответствующих углов, пересекаются в одной точке X', являющейся центром описанной окружности четырёхугольника K'L'M'N'. При этом центром описанной окружности четырёхугольника KLMN будет середина отрезка XX', и значит, X' совпадает с Y.
Так как четырёхугольники XKBL, XLCM, XMDN, XNAK вписанные,
∠AXB + ∠CXD = ∠KXA + ∠KXB + ∠CXM + DXM = ∠KNA + ∠BLK + ∠CLM + ∠MND = (180° – ∠KLM) + (180° – ∠MNK) = 180°. Отсюда следует, что прямые XB и DX симметричны относительно биссектрисы угла AXC. Аналогично прямые YB и DY симметричны относительно биссектрисы угла AYC. Кроме того, как уже было показано, совпадают биссектрисы углов BAD и XAY, BCD и XCY. Таким образом, прямые, симметричные BA, BX, BC, BY, относительно биссектрис соответствующих углов AXCY, пересекаются в точке D. Отсюда, рассуждая аналогично началу решения, получаем утверждение задачи.
