ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115873
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Прямая Симсона ]
[ Теорема Карно ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2, A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.


Решение

  Пусть прямая XY проходит через центр O окружности Ω. Зафиксируем точку Y и будем двигать точку X по прямой OY. При этом перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на соответствующие стороны A2B2C2 перемещаются равномерно и параллельно себе и, значит, точки их пересечения движутся по прямым. Когда точка X совпадает с Y или O, три перпендикуляра пересекаются в одной точке (в первом случае – в ортоцентре треугольника A2B2C2; во втором случае это следует из задачи 57173 а, так как перпендикуляры, опущенные из A2, B2, C2 на соответствующие стороны A1B1C1, пересекаются в точке Y). Следовательно, это выполняется для любого положения точки X.
  Из предыдущего рассуждения следует, что для фиксированной точки Y множество точек X, для которых перпендикуляры пересекаются в одной точке, это либо прямая OY, либо вся плоскость. Предположим, что имеет место второй случай, и возьмем в качестве X точку C. Тогда точки A1, B1 совпадают с C, а CC1 – высота треугольника ABC. Так как три перпендикуляра пересекаются в одной точке,  A2B2 || AB,  то есть Y лежит на прямой OC. Взяв теперь в качестве X другую вершину треугольника, получим, что Y совпадает с O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 17

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .