ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



Задача 57169

 [Теорема Карно]
Темы:   [ Теорема Карно ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4-
Классы: 9

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A1B² + C1A² + B1C² = B1A² + A1C² + C1B² (теорема Карно).

Прислать комментарий     Решение

Задача 115905

Темы:   [ Теорема Карно ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Из точек A1, B1 и C1, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.
Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  C1A² – C1B² + A1B² – A1C² + B1C² – B1A² = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115906

Темы:   [ Теорема Карно ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115908

Темы:   [ Теорема Карно ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A1, B1 и C1 – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B1C1, A1C1 и A1B1, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115907

Темы:   [ Теорема Карно ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, AC и AB соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые соответственно B1C1, A1C1 и A1B1, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .