ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 61197

 [Прямая Симсона]
Темы:   [ Прямая Симсона ]
[ Геометрия комплексной плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть u – точка на единичной окружности  z = 1  и u1, u2, u3 – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 вписанного в эту окружностьтреугольника a1a2a3.
  а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам

  б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52421

Темы:   [ Прямая Симсона ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

Прислать комментарий     Решение


Задача 56935

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56936

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM $ \perp$ BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56937

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом $ \alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла  90o на угол $ \alpha$ она повернется на угол  90o - $ \alpha$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .